Simetrías

Imagina que tenemos un cuadrado dibujado en un trozo de papel. Si cerramos los ojos y alguien rota el cuadrado 90 grados, al abrirlos y mirarlo no notaremos ninguna diferencia. Claro que si lo giran 45 grados podremos percatarnos de que alguien lo movió. No es muy difícil ver que si el cuadrado es rotado por 90, 180, 270 o 360 grados (360 grados corresponde a una vuelta completa), el efecto será precisamente que no haya efecto. Una rotación por cualquier otro ángulo y será evidente que movieron el cuadrado. Esos cuatro ángulos especiales están relacionados con lo que llamamos una simetría (bauticémosla como la simetría del cuadrado).

simetria_en_la_naturaleza (4)Consideremos ahora un triángulo equilátero: si lo rotamos 120, 240 o 360 grados no cambia. Cualquier otro ángulo y se notará el movimiento. ¿Y un pentágono? 72, 144, 216, 288 o 360 grados. ¿Y un hexágono? 60, 120, 180, 240, 300 o 360 grados, ¿y un ….. círculo? Un círculo puede ser rotado por cualquier ángulo y no notaremos ningún cambio, es decir, existe un número infinito de ángulos (entre 0 y 360 grados) que podemos utilizar para rotar un círculo y éste se verá igualito. Se puede decir que el círculo es una figura extremadamente simétrica.

Podemos ser un poco más ambiciosos y en lugar de pensar en un cuadrado pensar mejor en un cubo, es decir, ir de dos dimensiones a tres. Ahora la simetría será más compleja y rica ya que podemos rotar en varias direcciones. De la misma manera podemos pensar entonces en tetraedros, icosaedros, dodecaedros, …., ¡esferas! Siguiendo con el argumento anterior, vemos que la esfera es “ultra extremadamente simétrica”: si tuviésemos enfrente nuestro a una esfera perfecta (y lisa, es decir, de un color uniforme), sería imposible decir si se encuentra rotando o no. Podría estar rotando sobre un eje, cualquiera, y no podríamos percatarlo (otra vez, solo si la esfera es perfecta y de un color uniforme). Existe un número infinito de ejes de rotación asociados a la simetría de la esfera.

Si ahora queremos de plano perdernos en el mundo de la abstracción (algo por cierto maravilloso y muy humano), podríamos imaginarnos objetos no en tres sino en cuatro, cinco, seis o más dimensiones. A las esferas en dimensiones mayores a tres les llamamos de manera general hiperesferas.

Bueno, claro que podemos hacer y pensar sobre estas cosas, pero ¿y?

Pues nada, que es interesante y que durante años algunas personas han dedicado su vida a tratar de estudiar todos estos objetos matemáticos intentando encontrar sus propiedades y viendo la posibilidad de inventar objetos cada vez más interesantes y analizar sus posibles simetrías. ¿Por qué? Quizá por la misma razón por la que otros seres humanos han, durante muchos años, escrito poesía. También quizá por la misma razón por la que muchos más seres humanos, durante el mismo tiempo, no han hecho nada más que subsistir. Quizá, no lo sé.

Y sin embargo resulta que muchas de las propiedades y de la estructura que se ha generado para describir estas figuras y sus relaciones matemáticas, entre ellas sus propiedades de simetría, están íntimamente relacionadas con la naturaleza. Desde el aspecto geométrico de prácticamente cualquier objeto en el universo, hasta cosas tan profundas y fundamentales como las interacciones que determinan la forma en que el universo está formado. Por ejemplo sabemos que existen cuatro interacciones fundamentales en el universo: gravitacional, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil. Las tres últimas (y muy posiblemente la primera) son manifestaciones de un cierto tipo de simetría presente en la naturaleza. La materia se forma e interacciona entre sí de la manera que lo hace debido a la presencia de esa simetría en la naturaleza. Bueno, en realidad para ser más preciso, lo hace debido a la presencia de una cuasi-simetría de la naturaleza.

Algo verdaderamente sorprendente es que en la naturaleza casi todo “parece” simétrico. Si no nos fijamos en detalle, casi todo tiene algún tipo de simetría: las flores, la luna, el cuerpo humano, etc. Pero si nos fijamos un poquito con más cuidado, pues resulta que no. Resulta que no existe una flor completamente simétrica. La luna no es exactamente esférica – tiene protuberancias, cráteres. Nuestro cuerpo no solo no es simétrico en nuestro interior, sino que en realidad nuestro ojo derecho es un poco distinto del izquierdo. Los dedos de nuestra mano derecha se parecen pero no son idénticos a los de la izquierda. Y así todo lo que observemos. Pareciera que a la naturaleza le gusta la simetría pero “con poquita sal”, como para que sepa un poco mejor, para darle variedad a las cosas: demasiada simetría agobia.

Es como decir que a la naturaleza le gustaría saber si la esfera de nuestro ejemplo anterior está rotando o no. Para hacerlo la naturaleza “rompe” la simetría. Le pone una manchita a la esfera y así podremos saber si está rotando y en qué dirección, excepto en un caso: si el eje de rotación pasa por la manchita, en realidad no podremos saber si está rotando o si está quieta. A veces a la naturaleza le gusta jugar y hacerse la interesante, y eso es bueno porque nos mantiene con trabajo, si no ¿de qué viviríamos?

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