Video de la sesión en vivo: https://youtube.com/live/_BPayPHIkrw
Participantes:
- Invitado especial: Kort Beck (estudiante de doctorado en física en la University of Illinois, Urbana-Champaign)
- Luis Cruz
- Luis Javier Amador
- Fefo
Referencias:
- Documental de PBS NOVA sobre la demostración del teorema de Fermat (en inglés) «The Proof».
- Libro: El Enigma de Fermat, Simon Singh, Editorial Ariel, ISBN-10:8434418711
- Artículo de opinión de Kort Beck sobre el tema publicado en Vanguardia: ¿Pudo haber sido de otra forma?
- Artículo científico mencionado en el podcast donde se presentan los resultados que suscitaron la conversación (en inglés): Hypercharge quantisation and Fermat’s last theorem, Nakarin Lohitsiri, David Tong. SciPost Phys. 8, 009 (2020)
Introducción
¿Qué puede tener que ver un problema matemático planteado en el siglo XVII con nuestra descripción moderna de las partículas elementales?
A primera vista, muy poco. El último teorema de Fermat pertenece a la teoría de números, mientras que el Modelo Estándar es una sofisticada teoría cuántica construida para describir las partículas fundamentales y sus interacciones. Sin embargo, existe una conexión matemática sorprendente entre ambos mundos que podría ayudarnos a mirar desde otra perspectiva una de las preguntas que el Modelo Estándar todavía no responde: ¿por qué las partículas elementales tienen precisamente las cargas que observamos en la naturaleza?
De eso hablamos en este episodio de Hablemos de Ciencia con Fefo.
Un teorema que cualquiera puede entender
Una de las cosas más hermosas del último teorema de Fermat es que resulta extraordinariamente sencillo plantear el problema, aunque demostrarlo haya requerido algunas de las matemáticas más sofisticadas desarrolladas por la humanidad.
El punto de partida es algo que prácticamente todos conocemos desde la escuela: el teorema de Pitágoras,
Existen números enteros que satisfacen esta ecuación. El ejemplo clásico es
pues
Y no es el único ejemplo. Existen infinitas ternas de números enteros que satisfacen esta relación.
Pierre de Fermat se preguntó qué ocurriría si reemplazamos el cuadrado por potencias mayores. Por ejemplo,
o
Su afirmación fue extraordinaria: para cualquier potencia entera mayor que dos, no existen tres enteros positivos que satisfagan la ecuación
Eso es lo que hoy conocemos como el último teorema de Fermat.
La pregunta puede entenderla un estudiante de secundaria. La demostración, sin embargo, mantuvo ocupadas a algunas de las mejores mentes matemáticas durante más de tres siglos.
“Tengo una demostración verdaderamente maravillosa…”
Fermat no era matemático profesional. Era abogado, aunque realizó contribuciones matemáticas de enorme importancia.
Acostumbraba trabajar sobre libros y escribir observaciones y soluciones en sus márgenes. En una copia de la Arithmetica de Diofanto escribió una de las anotaciones más famosas de la historia de las matemáticas. Afirmó haber encontrado una demostración maravillosa de su proposición, pero añadió que el margen era demasiado pequeño para contenerla.
Durante los siguientes siglos, los matemáticos consiguieron demostrar casos particulares, pero la demostración general se resistió.
Hubo que esperar hasta la década de 1990 para que Andrew Wiles consiguiera finalmente demostrar el teorema. Y aquí aparece uno de los aspectos más fascinantes de la historia: la demostración utilizó matemáticas altamente sofisticadas que no existían en tiempos de Fermat.
Un problema sencillo de plantear y extraordinariamente difícil de resolver
Esta característica distingue al último teorema de Fermat de muchos de los grandes problemas abiertos de las matemáticas modernas.
Con frecuencia, incluso enunciar un problema contemporáneo requiere años de formación matemática. Hace falta conocer previamente definiciones, estructuras y lenguajes muy especializados simplemente para entender qué se está preguntando.
Con Fermat ocurre algo diferente.
La pregunta puede explicarse en unos cuantos minutos a alguien que conozca las operaciones elementales y el concepto de potencia. Y, sin embargo, resolverla requirió matemáticas extraordinariamente profundas.
Ese contraste constituye buena parte de su encanto.
Pero ¿qué tiene que ver todo esto con las partículas elementales?
Entra en escena el Modelo Estándar
El Modelo Estándar de las partículas elementales es una de las construcciones intelectuales más exitosas de la ciencia moderna.
Es el marco matemático y físico que utilizamos para describir los componentes fundamentales de la materia y tres de las cuatro interacciones fundamentales conocidas: la interacción electromagnética, la interacción nuclear fuerte y la interacción nuclear débil.
La cuarta, la gravedad, queda fuera del Modelo Estándar y se describe actualmente mediante otra teoría extraordinariamente exitosa: la relatividad general.
El éxito experimental del Modelo Estándar es impresionante. Sus predicciones han sido verificadas con enorme precisión.
Pero que una teoría sea extraordinariamente exitosa no significa que responda todas nuestras preguntas.
Y aquí comienza la parte interesante de nuestra historia.
El Modelo Estándar describe, pero no siempre explica
Sabemos experimentalmente que existen diferentes partículas elementales y conocemos muchas de sus propiedades.
Tenemos seis quarks, tres partículas cargadas del tipo del electrón —electrón, muón y tau— y tres neutrinos. El Modelo Estándar incorpora esas partículas y especifica cómo se comportan bajo las diferentes interacciones.
Por ejemplo, sabemos que el electrón posee carga eléctrica negativa y que no participa de la interacción nuclear fuerte.
Pero podemos hacer una pregunta adicional:
¿Por qué?
¿Por qué el electrón tiene precisamente la carga que tiene?
¿Por qué los quarks tienen sus cargas particulares?
¿Por qué encontramos en la naturaleza precisamente ese patrón y no otro?
El Modelo Estándar utiliza estos valores y, una vez incorporados, produce predicciones extraordinariamente exitosas. Pero los valores mismos no quedan completamente explicados por la teoría.
En otras palabras, podemos distinguir dos niveles de conocimiento:
describir cómo es la naturaleza y entender por qué tenía que ser así.
No son necesariamente la misma cosa.
La importancia de las simetrías
Para entender dónde aparece Fermat debemos introducir otra de las grandes ideas de la física moderna: la simetría.
Todos tenemos una intuición geométrica de lo que significa esa palabra.
Imaginemos un cuadrado. Lo rotamos 90 grados y vuelve a verse exactamente igual. Si alguien cerrara los ojos mientras hacemos la rotación y después los abriera, no podría determinar, mirando únicamente el cuadrado, si lo hemos rotado o no.
Esa es una simetría.
En física utilizamos una versión matemática mucho más sofisticada de la misma idea. Podemos realizar determinadas transformaciones sobre los objetos matemáticos que describen un sistema y encontrar que las ecuaciones fundamentales permanecen invariantes.
En el Modelo Estándar estas simetrías no son simplemente un detalle estético. Son fundamentales para la estructura de la teoría y están íntimamente relacionadas con las interacciones fundamentales.
Las partículas se distinguen, entre otras cosas, por la manera en que responden a esas simetrías. Y asociadas a ellas aparecen cantidades numéricas que caracterizan a las diferentes partículas.
Es precisamente allí donde empieza a aparecer nuestra inesperada conexión con Fermat.
Fermat se encuentra con las partículas elementales
Los valores de las cargas de las partículas no pueden elegirse arbitrariamente.
Para que la teoría tenga consistencia matemática, esas cargas deben satisfacer determinadas relaciones. Y aquí aparece la observación que motivó el episodio: bajo ciertas condiciones, las ecuaciones que restringen esas cargas pueden relacionarse con ecuaciones diofánticas del tipo que aparece en el último teorema de Fermat.
Dicho de una manera muy simplificada, la consistencia matemática del Modelo Estándar restringe los números que podemos asignar a las partículas, y el tipo de restricciones que aparece puede conectarse con el problema matemático que Fermat planteó hace casi cuatro siglos.
La posibilidad resulta fascinante.
Quizá las cargas que observamos no sean simplemente una colección accidental de números que debemos introducir experimentalmente en nuestra teoría. Tal vez ciertas propiedades matemáticas profundas limiten cuáles patrones son posibles.
Eso no significa que el último teorema de Fermat haya “explicado el Modelo Estándar”, ni que tengamos con esto una respuesta definitiva al origen de las cargas.
La idea es más sutil y, a mi juicio, más interesante: podemos encontrar un nivel adicional de estructura matemática detrás de propiedades que hasta ahora simplemente introducimos a partir de la observación.
¿Coincidencia o pista?
Esta es precisamente la clase de situación que hace tan interesante a la física teórica.
Podría tratarse simplemente de una coincidencia matemática.
Pero también podría ser una pista.
La historia de la física contiene numerosos ejemplos en los que una estructura matemática aparentemente abstracta terminó revelándose como el lenguaje apropiado para describir alguna propiedad profunda de la naturaleza.
En este caso resulta especialmente sugestivo que la demostración moderna del teorema de Fermat involucre áreas de las matemáticas que, a primera vista, parecen encontrarse muy lejos de la sencilla ecuación que Fermat escribió. En el programa mencionamos, por ejemplo, ideas relacionadas con representaciones de Galois y otras estructuras matemáticas profundas que aparecen en la demostración.
Eso abre una posibilidad intelectualmente estimulante: estudiar no solamente que ciertas soluciones no existen, sino comprender con mayor profundidad por qué no existen, y preguntarnos si esas razones matemáticas pueden enseñarnos algo nuevo sobre las teorías físicas.
No sabemos hasta dónde conduce ese camino.
Y precisamente por eso vale la pena explorarlo.
Las matemáticas y la naturaleza
Hay una lección más general detrás de esta historia.
A veces dividimos artificialmente el conocimiento en compartimentos: matemáticas por un lado, física por otro; teoría de números por aquí, partículas elementales por allá.
La naturaleza no conoce esas divisiones administrativas.
Un problema formulado por un abogado aficionado a las matemáticas en el siglo XVII puede terminar conectado, siglos después, con preguntas que nos hacemos acerca de las partículas fundamentales del universo.
Y una ecuación que puede entender un estudiante de secundaria puede esconder detrás de ella estructuras matemáticas cuya comprensión requirió cientos de años de desarrollo.
Eso es parte de la belleza de la ciencia.
Cada respuesta abre una nueva pregunta. Cada nivel de explicación nos permite preguntar qué existe debajo.
El Modelo Estándar nos dice, con una precisión extraordinaria, cómo se comportan las partículas que conocemos. Pero todavía podemos preguntar por qué esas partículas poseen exactamente las propiedades que observamos.
Tal vez algunas respuestas se encuentren en nuevas partículas, nuevas simetrías o nuevas teorías físicas.
O quizá algunas estén escondidas en estructuras matemáticas que ya conocemos, esperando que hagamos la pregunta correcta.
Después de todo, hace casi cuatro siglos Fermat escribió una pequeña observación en el margen de un libro.
El margen resultó demasiado pequeño.
La historia que comenzó allí, en cambio, resultó ser enorme.
Para seguir explorando
Para quienes quieran conocer mejor esta extraordinaria historia, durante el programa recomendamos el documental The Proof, producido dentro de la serie NOVA, que relata la búsqueda y demostración del último teorema de Fermat. También recomendamos El enigma de Fermat, de Simon Singh, un libro de divulgación particularmente accesible que reconstruye los siglos de intentos, avances y dificultades que finalmente desembocaron en la demostración de Andrew Wiles.
Y, por supuesto, queda abierta la pregunta que motivó este episodio de Hablemos de Ciencia con Fefo:
¿Es la aparición del último teorema de Fermat en el contexto del Modelo Estándar simplemente una hermosa coincidencia matemática, o estamos viendo una pequeña pista de una estructura más profunda detrás de las propiedades de las partículas elementales?
Escrito por fefino 
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